[전자회로 실험#15] 적분기

 

 

적분기 회로는 위와 같이 미분기 회로에서 저항과 커패시터의 위치가 바뀐 모습이다.

 

반전 단자로는 전류가 흐르지 않기 때문에 저항에 흐르는 전류$I_{R}$과 커패시터에 흐르는 전류$I_{C_{F}}$는 $I$로 동일하다.

 

(1) $I_{R} = I_{C_{F}} = I$

 

가상 단락에 의해 반전 단자의 전압은 0이 되고 저항에 흐르는 전류와 커패시터에 흐르는 전류를 표현하면 다음과 같다.

 

(2) $I_{R} = \frac{V_{i}-0}{R}$

 

(3) $I_{C_{F}} = C_{F}\frac{d(0-V_{o})}{dt}$

 

따라서 (2)와 (3)을 (1)에 대입하여 출력 전압$V_{o}$에 대해 정리하면 다음과 같다.

 

$V_{o} = -\frac{1}{RC_{F}}\int V_{i}dt$

 

앞서 미분기에서 미분의 의미는 순간의 변화율이라고 이야기했고, 적분은 그 반대의 과정이라고 할 수 있다.

변화율의 반대란 무엇인지 쉽게 감이 오지 않으니 간단한 함수의 미적분에 대해 생각해보자.

$y = ax + b$라는 1차 함수가 있다고 가정해보면, 1차 함수를 미분하면 상수, $a$항의 계수가 된다. 이는 1차 함수의 "변화율"를 의미한다. 1차 함수를 적분한다면 2차 함수 $\frac{a}{2}x^2 + bx + c$가 나오게 된다. 이는 1차 함수 "값의 누적된 양"을 의미한다.

 

친숙한 물리량인 이동거리, 속도, 가속도에 빗대어보자.

속도는 위치(정확히는 변위)의 변화 정도를 의미하는데 만약 속도가 일정하게 증가하는 1차 함수라면, 미분 값인 시간당 속도의 변화율(즉, 가속도)은 일정한 양의 값을 갖게 된다. 적분 값인 시간당 속도 값 누적 변화량(시간동안 위치의 누적된 양)은 시간이 지남에 따라 급격히 증가하는 2차 함수의 형태를 갖게 된다.

 

수학 시간이 아니기에 위의 내용이 어려운 경우 1차 함수의 미분은 상수, 적분은 이차 함수가 된다는 것만 이해하고 있어도 문제없다.

 

그렇다면 다시 적분기 출력을 예상해보면, 그림과 같이 입력 1의 일정한 직류에서는 누적된 양이 점차 증가하므로 1차 함수의 형태를 갖게 되고 입력 2의 구형파에서는 양의 반주기와 음의 반주기가 값은 같고 부호가 반대인 1차 함수로 나타난다. 만약 입력이 일차 함수 또는 삼각파로 입력이 된다면 2차 함수로 나타날 것임을 예상할 수 있다.

 

위와 같이 주기가 4초인 삼각파가 입력된 경우, 출력은 아래와 같이 1초 ~ 2초까지 누적된 양이 점차 증가하며 증가 폭도 증가(출력에 -값이 붙어있기 때문에 -로 증가 즉, 감소)하고 2초 ~ 3초까지 누적된 량이 증가 하기는 하나 증가폭은 감소하는 형태로 나타나며 3~4초 동안은 부호는 반대인 동일한 현상이 반복됨을 알 수 있다.

 

같은 신호의 고주파($4ms$ 주기)가 입력된 경우의 출력은 다음과 같다.

 

주기와 주파수가 변화했지만 미분기처럼 파형의 모양에는 변화가 없다.

미분기에서는 입력신호에 포함된 고주파 성분들이 높은 전압이득을 갖게 되어 증폭되어 나타났지만, 적분기에서는 입력 신호의 고주파 성분들의 전압이득은 거의 사라지기 때문에 출력에 나타나지 않기 때문이다.

 

적분기에서는 그럼 주파수에 따라 출력은 변함이 없는 걸까? 다음 출력을 살펴보자.

 

위의 입력 신호는 주기가 20초인 신호로 주파수가 작은, 저주파 신호에 대해서는 출력 $V_{o} = -\frac{1}{RC_{F}}\int V_{i}dt$와 같이 입력 신호의 누적된 총량으로 출력이 나타나지 않음을 알 수 있다.

 

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