[전자회로 실험#14] 미분기

 

 

연산증폭기 응용 회로 중 미분기에 대해 알아보자.

미분기는 반전 증폭기 회로와 유사하게 구성되어 있으나 저항이 아닌 커패시터가 달려있다.

반전 증폭기 회로의 출력을 구하는 것과 같은 방식으로 출력 전압을 구할 수 있다.

 

1. (-) 단자에서 전류 방정식 표현커패시터에 흐르는 전류를 $I_{c}$, 피드백 저항에 흐르는 전류를 $I_{f}$라 한다.

 

 

$I_{c} = I_{f}$

 

 

2. 커패시터에 흐르는 전류 $I_{c}$ 표현

 

$V_{c} = V_{in}$이므로

 

$I_{c} = C\frac{d}{dt}V_{c}(t) = C\frac{d}{dt}V_{in}(t)$이 된다.

 

3. 1번 식에 2번 식을 대입하여 최종 출력 구하기

 

$C\frac{d}{dt}V_{in}(t) = \frac{-V_{o}}{R_{f}}$

 

따라서, $V_{o} = -R_{f}C\frac{d}{dt}V_{in}(t)$가 된다.

 

즉, 출력 전압은 피드백 저항과 정전용량, 입력 전압의 변화량 세 가지의 곱으로 나타낼 수 있다. 피드백 저항과 정전용량은 정해져 있는 값이기에 결국 출력 전압의 파형은 입력 전압의 변화량에 따르게 된다. 맨 위 그림에서 입력 전압이 [입력 1]과 같을 때, 입력은 입력 신호의 $\frac{1}{2}$주기 마다 급격히 변화하게 되며 이때 출력 전압이 잠깐씩 나타나게 된다. 입력 전압이 [입력 2]와 같을 때에는 입력 신호의 $\frac{1}{2}$주기 동안은 일정하게 증가, 나머지 반 주기 동안은 일정하게 감소한다. 따라서 출력 전압도 양의 반주기, 음의 반주기 동안 각각 일정한 값을 갖게 된다.

 

위의 글처럼 입력 신호의 변화량이 출력 신호의 파형을 결정하게 됨을 시뮬레이션을 통해 확인해본다.

시뮬레이션 회로는 다음과 같다.

입력 신호가 직류나 사인파가 아닌 구형파, 삼각파가 입력되어야하므로 라이브러리에서 VPULSE 소자를 가져와 다음의 의미를 참고하여 신호의 파형과 주파수를 변경해가면서 회로를 실험해본다.

V1	초기 전압	TR	상승 시간
V2	최대 전압	TF	하강 시간
TD	시간 지연	PW	펄스 폭
		PER	신호 주기

 

첫 번째 시뮬레이션 : 낮은 주파수의 삼각파가 입력될 때

입력 파형은 -2.5 [V]에서 시작하여 2초 동안 5 [V]까지 증가한 뒤, 다시 2초 동안 -2.5 [V]까지 5 [V] 감소를 반복한다.

이 때, 출력 전압은 

$V_{o} = -R_{f}C\frac{d}{dt}V_{in}(t) = -25*10^{3}*5*10^{-6}\frac{d}{dt}V_{in} = -0.125\frac{d}{dt}V_{in}$

이 된다. 입력 신호는 구간에 따라 변화량이 다르므로 구간을 나눠 출력 전압을 계산한다.

 

시간에 따른 입력신호의 변화

$\frac{d}{dt}V_{in} = \begin{Bmatrix} 2.5 [0 < t < \frac{T}{2}]\\ -2.5 [\frac{T}{2} < t < T]\end{Bmatrix}$이므로

 

출력 전압 $V_{o} = \begin{Bmatrix} -0.3125 [ 0 < t < \frac{T}{2}]\\ 0.3125 [\frac{T}{2} < t < T] \end{Bmatrix}$가 됨을 예상할 수 있다.

 

시뮬레이션 결과 또한 예상과 같음을 관찰할 수 있다.

 

두 번째 시뮬레이션 : 높은 주파수의 삼각파가 입력될 때

두 번째 입력 신호는 첫 번째와 같은 삼각파이지만 주파수가 다르다. 첫 번째 입력 신호는 주기가 4[s] 인 삼각파였다면 이번 신호는 주기가 4[ms]이기 때문에 주파수는 1000배 높은 $\frac{1000}{4} = 250$[Hz]인 신호다.

따라서 시간에 대한 입력 신호의 변화량도 다음과 같이 1000배 늘어날 것이다.

 

$\frac{d}{dt}V_{in} = \begin{Bmatrix} 2500 [ 0 < t < \frac{T}{2}]\\ -2500 [\frac{T}{2} < t < T]\end{Bmatrix}$

 

하지만 출력 전압은 커패시턴스의 값도 1000배 작아졌기 때문에 출력 전압에 변함은 없을 것이다.

 

$V_{o} = \begin{Bmatrix} -0.3125 [ 0 < t < \frac{T}{2}]\\ 0.3125[\frac{T}{2} < t < T]\end{Bmatrix}$

하지만 실험 결과에 예상치 못한 잡음이 섞여 있다. 이는 커패시터의 임피던스와 관련이 있다. 커패시터의 임피던스 $X_{c} = \frac{1}{2\pi fC}$에서 주파수가 높아질수록 임피던스는 작아지기 때문에 입력 신호의 주파수가 높을 때에는 입력 신호의 고주파 잡음 전압이득이 상승하게 되어 위 그래프와 같은 출력이 나타난다. 따라서 세 번째 실험을 통해 입력 신호의 고주파 잡음에서 발생하는 출력에서의 진동을 감소시키는 방법을 알아본다.

세 번째 시뮬레이션 : 높은 주파수의 삼각파가 입력될 때

세 번째 실험에서는 커패시터의 앞 부분에 저항 하나를 추가한다. 저항이 추가됨으로써 고주파에서(커패시터의 임피던스가 0에 수렴할 때) 회로는 반전증폭기와 같다. 따라서 출력$V_{o} = -\frac{R_{f}}{R}V_{in}$으로 이득이 일정한 값으로 수렴한다. 그렇기 때문에 입력 신호에 담긴 잡음이 상대적으로 감소한 효과를 기대할 수 있으며 출력 또한 기대한 것과 같이 일정한 출력이 나타난다.

 

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